eky özel    

www.geometri.ogretmeni.com

 Eyüp Kamil YEŞİLYURT

  18  
Simetride 8 özel durum
.

     Aşağıdaki gösterim size bir şey ifade etmiyorsa önce örnekler kısmına göz atın.

 Simetride sekiz özel durumu hatırlamanızda yandaki cambazlığı hatırlayın, eksenlere göre simetride (eksen etrafında dönerken tutulan eksende bir değişme olmaz) yani
1- x eksenine göre simetride x ler,
2- y eksenine göre simetride y ler değişmez. Diğer koordinat ise sadece işaret değiştirir (Bu işaret değiştirmeyi ise formüllerdeki parantez içinde verilen (y=0, x=0) denklemlerini düşünerek orta nokta mantığı ile hatırlayabilirseniz aşağıdaki simetrilerde de işinize yarar.)
  
  3- O(0,0) orijine göre simetride ikisi de işaret değiştirir.


  4- y = x   I. açıortay doğrusuna göre simetride yer değiştirilir.

     
  5- y = -x  II. açıortaya göre simetride hem yer hem de işaret değişir.




  6- A(a,b) noktasına göre simetride orta nokta mantığı kullanılır.


  7- x = a doğrusuna göre simetride a sıfır olabileceği için denklemi x=0 olan y-ekseni gibi davranır.
Yani y ler değişmez ve diğer koordinat ise orta nokta mantığı ile elde edilir.


  8- y = b doğrusuna göre simetride b sıfır olabileceği için y=0 şeklindeki x ekseni gibi davranır.
Yani x ler değişmezken diğer koordinat orta nokta ile bulunur.
  

  Bu sekiz simetriye neden özel dediğimi 6.formül olarak yazdığımız simetri üzerinde açıklayalım;
Eğer yukarıdaki gösteriliş biçimi sizin için bir şey ifade etmiyorsa bu gösterilişi de aşağıda açıkladım.
  

ÖRNEKLER

        

    (O noktasının, A ile A' noktasının orta noktasıdır.)
    Simetriği alınacak her noktayı temsil eden (x,y) değişken noktasının (a,b) gibi bir noktaya göre simetriğini bulabiliyorsanız; İsmini bilseniz de bilmeseniz de denklemi verilen herhangi bir şeklin simetriğinin denklemini kolayca bulabilirsiniz.

      Gösteriliş:
      (x,y) noktasının (a,b) noktasına göre simetriği (2a-x,2b-y) noktasıdır şeklindeki cümleyi kısaltmak için aşağıdaki gösterimi kullanacağız:

            (a,b)
   (x,y) -----------> (2a-x,2b-y)
 
 Örnek
             B(2,-3)
   A(1,2) -----------> (3,-8)
         
             B(2,-3)
   A(x,y) ---------> (4-x,-6-y)

                  B(2,-3)
   2x+3y=5 ------------->  2.(4-x)+3.(-6-y)=5

                           B(2,-3)
   -------------->  

 (Dikkat ederseniz (2,-3) noktasına göre simetride: x ler hep 4-x olurken, y ler de -6-y olmaktadır.)

      Bu genel çözüm tüm sekiz özel durum için geçerlidir. Neyi değil, neye göre simetri aldığınız önemlidir.

Bu örnekleri çoğalta bilirsiniz.
Soru:
     y=2x+5 doğrusunun x- eksenine göre simetriği k doğrusu, k doğrusunun I. açıortay doğrusuna göre simetriği t doğrusu, t doğrusunun x=3 doğrusuna göre simetriğinin denklemi nedir?

Çözüm:
           Sevgili öğrenciler görüldüğü üzere sorudaki simetriler 8 özel durum ile ilgili o halde bu sorunun çözümü sizin için oldukça kolay olacak, bunu birlikte yapalım:  (x,y) noktasının sonuçta nasıl değiştiğini bulalım.

        x-eks         y=x            x=3
(x,y)-------->(x,-y)-------->(-y,x)--------->(6+y,x)  : sonuçta x gördüğümüz yere 6+y, y gördüğümüz yere x yazmamız yeterliymiş.

y=2x+5----------------------------------------->x=2(6+y)+5  elde ettiğimiz doğru denklemini düzenlemek kalıyor.


Bu tür ard arda simetrilerde işinize yarayacak bir uyarı yapmak istiyorum. Eğer peş peşe x ve y eksenlerine göre simetri soruluyorsa siz iki işlem yerine orijine göre simetri alarak tek bir işlem yapabilirsiniz. Benzer şekilde peş peşe y=x ve y=-x açıortaylarına göre simetride de aynı şeyi yapabilirsiniz.

 Uyarı aşağıdaki soruya dikkat ediniz...

Soru:
     A(1,2) noktasının 3x+4y-6=0 doğrusuna göre simetriği B ise IABI uzunluğu kaç birimdir?

    Sevgili öğrenciler bu tür uzunluk sorularının simetri kurallarıyla bir ilgisi yoktur. Eğer koordinat bulmanıza gerek yoksa simetri kurallarını uygulamanıza da gerek kalmaz. Bu soruyu çözerken noktanın doğruya uzaklığını kullanacağınız için simetri kurallarıyla işiniz olmaz.
       A(1,2)  noktasının 3x+4y-6=0 doğrusuna uzaklığının 2 katı IABI uzunluğunu vereceği için noktanın doğruya uzaklığını kullanmak yeterli olacak.
      Bunun için kuralı hatırlayalım: " nokta, sıfıra eşitlenmiş doğru denkleminde yazılacak ve x ile y nin katsayılarına uygulanan pisagora bölünecek"

             3.1+4.2-6
IABI=2.__________
                  5

IABI=2 birim.

 Sınavınızda başarılar diliyorum...
Sekiz özel durum dışında tek simetri bilgisi kaldı. Herhangi bir doğruya göre simetri. Bu konu ile ilgili çalışma hazırlık aşamasındadır.

 
 

Eyüp Kamil Yeşilyurt
 11 Mayıs 2003