Herhangi bir üçgenin üç köşesinden geçen ışınların kesiştiği noktaya,
serbest nokta diyeceğiz.
Yukarıdaki şekillerde P noktası, ABC üçgenlerinin
serbest noktasıdır. Kolaylık olması için, P noktası üçgenin içindeyken
meydana gelen şekle inan şekli diyeceğiz.
Herhangi bir üçgenin serbest noktası alınarak oluşturulan
açıları
mPAC= a1, mPAB=a2, mPBA=b1, mPBC=b2, mPCB=c1, mPCA=c2
şeklinde ifade edelim. Bu açılar her iki şekilde de inan
teoremini (trigonometrik-ceva bağıntısını) sağlar.
..... (inan teoremi)
İnan teoremini sağlayan (a1,a2,b1,b2,c1,c2) altılısına inan
altılısı diyelim. İnan altılısı
denildiğinde bu düzenli sıralama ihmal
edilmemelidir.
Sonuç 1:
Aynı indisli a1, b1, c1 değerleri kendi aralarında ve a2, b2, c2 değerleri kendi aralarında yer değiştirebilir.
Bu durumda ABC üçgeni veya üçgenin serbest noktasının yeri değişmiş olsa bile elde edilen her altılı inan
altılısıdır yani inan teoremini sağlayacaktır. Bunu sembolik olarak ifade etmek gerekirse;
(a1,a2,b1,b2,c1,c2) inan altılısı ise aynı indisli bileşenler yer değiştirebilir.
Örneğin, (a1,a2,b1,b2,c1,c2) inan altılısı ise (b1,a2,a1,b2,c1,c2) altılısı da inan altılısıdır.
İspatı çarpmanın değişme özeliğinden kolayca görülebilir. Bu gösterime alışmak için ispatı yapalım;
(a1,a2,b1,b2,c1,c2) inan altılısı ise
denklemi sağlanacaktır. Çarpmanın değişme özeliğine göre, 
yazılabileceğinden (b1,a2,a1,b2,c1,c2) altılısı inan altılısıdır.İnan altılısı yazılımına ve şekline alışmak için aşağıdaki örneği inceleyiniz;
Örnek:
(t,x,m,p,r,s) inan altılısı
verilediğinde,
inan
teoremi sağlanmalı ve saatin ters yönü düşünülerek aşağıdaki
şekil akla gelmelidir.
Bu aşamada ilk aklımıza gelen ; " Bir inan altılısından kaç tane inan altılısı üretilebilir? " Aynı indisli açıların kendi aralarında yer değiştireceğini düşünürsek 3!.3!=36 tane inan altılısı elde edilebilir. Her yer değişikliğinde farklı bir üçgen oluşmaz bu durumu
dikkate alarak "Bir inan altılısından kaç farklı inan şekli oluşturulabileceğini inceleyelim." Bunun için ilk iki açıyı sabit tutarak
dört farklı şekil oluşturabileceğimizden ve üçgenin üç köşesi olduğunu da dikkate alarak 4.3=12 farklı inan şekli elde edildiğini
anlarız. Bunu bir sonuç olarak ifade edelim:
Sonuç 2 :
Bir inan altılısından 12 farklı inan üçgeni üretilebilir."
Bu sonuç, ilk bakışta sıradan ve değersiz bir sonuçmuş gibi gelebilir. İnan üçgeni ile ilgili yüzlerce soru soruldu, çözüldü.
"1. ana modelden bir sorunun incelenmesi" başlıklı yazımızda dikkat ettiyseniz bir takım işlemler sonucunda
(eşkenar üçgen - deltoid -kirişler dörtgeni çizilerek) istenen açı bulunabiliyordu. Bu düşünce ile birlikte sonuçu
değerlendirdiğimizde, çok ilginç bir sav ortaya çıkıyor;
" Bir inan altılısından 12 farklı inan üçgeni üretilebilir ve bu 12 farklı üçgen arasında standart sentetik ilişki kurulabilir. "
Şimdi bu 12 farklı üçgeni tek tek görelim zamanla bu 12 farklı üçgen arasındaki sentetik ilişkileri buldukça yazımıza ekleriz.
Şekil 1 Şekil 2 Şekil 3
Şekil 4 Şekil 5 Şekil 6
Şekil 7 Şekil 8 Şekil 9
Şekil 10 Şekil 11 Şekil 12
Araştırma yapmayı sevenler için
güzel bir çalışma örneği yukarıdaki üçgenlerin birbirinden nasıl elde
edilebileceğini ve
bu üçgenlerin birbiriyle nasıl bir bağlantı içinde olduklarını
araştırabilirsiniz. En az 12 tane ilişkilendirme yapılabilmeli.
(a1,a2,b1,b2,c1,c2) inan altılısından elde edilebilen (a1,b2,c1,a2,b1,c2) altılı arasındaki sentetik ilişki. (Şekil 1-Şekil 7 arasındaki ilişki)
[AP, [BP ve [CP ışınlarının, ABC üçgeninin çevrel çemberini kestiği noktaları köşe kabul eden üçgendir.
Şekilleri birbirinden ayırt edebilmeniz için tüm şekillerin a1 indisiyle başlattığımıza dikkat etmeniz gerekir.
(a1,a2,b1,b2,c1,c2) inan altılısından elde edilebilen (a1,c2,c1,b2,b1,a2) altılı arasındaki sentetik ilişki. (Şekil 1-Şekil 12 arasındaki ilişki)
Aşağıdaki şekilde, O noktası ABC üçgenin, A' noktası PBC üçgeninin, B' noktası PAC üçgeninin ve C' noktası PAB üçgenin çevrel
çember merkezleridir.
Burada elde ettiğimiz ilişki bile başlı başına bir problem olarak değerlendirilip ispatı da istenebilir. Bir kapıyı aralıyorsunuz,
karşınıza bir kapı daha çıkıyor. Bu geometri ne müthiş bir şey öyle değil mi? Şu şekle biraz dikkatli bakınca siz hangi kapıları
fark edeceksiniz acaba ?
Uyarı: O noktası A'B'C' üçgenin çevrel çemberi olmak zorunda değildir.
(a1,a2,b1,b2,c1,c2) inan altılısından elde edilebilen (a1,a2,c1,c2,b1,b2) altılı arasındaki sentetik ilişki. (Şekil 1-Şekil 3 arasındaki ilişki)
mABC=mAKC olacak şekilde BC üzerinde bir K noktası alınarak, ABC üçgeniyle A.A benzerliği olan KAC üçgeni oluşturuluyor.
mPBA=b1=mP'AC olacak şekilde CP üzerinde bir P' noktası vardır.
Şekil 1 için inan altılısı bileşenlerine göre elde edeceğimiz şekil farklı olabilmektedir. Örneğin, aşağıdaki şekilde, a1>b1+b2
kabul edilerek çizim yapılmıştır ve P', P ile C arasında çizilmiştir. Bazı durumlarda da P, P' ile C arasında olabilir fakat ilişkilendirmede
farklılık olmamaktadır.
Not: Yazımızın ileryen bölümlerinde model ve ana modellerden bahsedeceğiz. Modellerde, APKP' dörtgeni,
kirişer dörtgeni, deltoid gibi özel dörtgen olarak karşımıza çıkmaktadır.
